問題

$N$ 人いる( $N$ は偶数)。この中から $2$ 人組のペアを作る時、ペアの組み合わせは何通りあるか？

f:id:d_tutuz:20180907072942p:plain

考え方

(i)ペアの $1$ 人を固定
$N$ 人の中からまず $1$ 人固定する。その $1$ 人に対して、ペアになる人の選び方は $N-1$ 通り存在する。同様に残りの $N-2$ 人の中から $1$ 人を固定して、その $1$ 人に対してペアになる人の選び方は $N-4$ 通り存在する。

よって $(N-1)!!$ 通りとなる。

(ii)区別のつかない箱に分ける
箱を区別すると考えると、選び方は ${}_{N} \mathrm{C}_2 * {}_{N-2} \mathrm{C}_2$ ... ${}_2 \mathrm{C}_2$ 通りとなる。箱は実際は区別しないので重複が $(N/2)!$ 通りあるので、重複度で割って

$\displaystyle \frac{{}_{N} \mathrm{C}_2 * {}_{N-2} \mathrm{C}_2 ... {}_2 \mathrm{C}_2}{(N/2)!}$

となる。