線形写像の表現行列

  1. 定義（表現行列）

ベクトル空間 Vから Wへの線形写像 f:V \rightarrow Wとする。
n 次ベクトル空間 Vの基底 \{ v_1, v_2, \ldots , v_n \}, m 次ベクトル空間 W の基底 \{ w_1, w_2, \ldots , w_m \}に関して、
\{f(v_1),f(v_2), \ldots , f(v_n) \} = (w_1, w_2, \ldots , w_m)A
によって定まる m \times n 行列A を
V の基底と W の基底に関するfの表現行列という。

この時、 Vの任意のベクトルx = \sum_{j=1}^n x_jv_jに対して、y=f(x)は
y=f(x) = \sum_{j=1}^n x_jf(v_j) = (f(v_1), \ldots, f(v_n))\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix} = (w_1, \ldots, w_n)A \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}
また y = (w_1, \ldots, w_n) \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix}であることと合わせて、

y = Axと表すことができる。

難しく考えていたが、これが表現行列の定義なので、そういうものだと思えばよい。