マスターオブ整数：2-2

高校数学 整数 マスターオブ整数

問題

\displaystyle x \in \mathbb{N}, \frac{3}{x} がちょうど小数第 3 位までの有限小数となるような x はいくつあるか？

考え方

既約分数で考える。既約分数を小数に変換する時にどのような形になるかは既約分数の分母に依存する。

分母を素因数分解した時、素因数に 2,\ 5 以外の数がある場合は循環小数になる。2,\ 5 のみの場合は 分母の数が 2^p * 5^q と表されたとすると k=max(p,q) として小数第 k 桁の小数になる。

よって小数第 3 位の小数になるとき、p,q の組み合わせは (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2) の 7 通りで 分子に 3 が含まれるので分母に 3 を取ることもできるので解は 7 \times 2 = 14 通りとなる。